Главная » Бесплатные рефераты » Бесплатные рефераты по ЭММ и ПМ »

Примеры решения задач в Excel по ЭММ и ПМ

Тема: Примеры решения задач в Excel по ЭММ и ПМ

Пример: Краткий обзор надстройки "Поиск решения"

Месяц	1 квартал	2 квартал	3 квартал	4 квартал	Всего
Сезонность	0,9	1,1	0,8	1,2

Число продаж	3 592	4 390	3 192	4 789	15 962
Выручка от реализации	143 662р.	175 587р.	127 700р.	191 549р.	638 498р.	Цветовые обозначения
Затраты на сбыт	89 789	109 742	79 812	119 718	399 061
Валовая прибыль	53 873	65 845	47 887	71 831	239 437		Результат

Торговый персонал	8 000	8 000	9 000	9 000	34 000		Изменяемые данные
Реклама	10 000	10 000	10 000	10 000	40 000
Косвенные затраты	21 549	26 338	19 155	28 732	95 775		Ограничения
Суммарные затраты	39 549	44 338	38 155	47 732	169 775

Произв. прибыль	14 324р.	21 507р.	9 732р.	24 099р.	69 662р.
Норма прибыли	10%	12%	8%	13%	11%

Цена изделия	40р.
Затраты на изделие	25р.

В следующих примерах показано, как для приведенной выше модели можно находить значения, для которых
заданный параметр имеет наибольшее или наименьшее значение, вводить ограничения, и сохранять модель.

Строка	Содержимое		Пояснение
3	Фиксированное знач.		Сезонная поправка: во 2 и 4 кварталах уровень продаж
			выше, чем в 1 и 3.

5	=35B3(B11+3000)^0.5		Ожидаемое число продаж по кварталам: в строке 3 -
			сезонная поправка; в строке 11 отражены затраты на
			рекламу.

6	=B5*$B$18		Выручка от реализации: произведение числа продаж
			(5 строка) на цену изделия (ячейка B18).

7	=B5*$B$19		Затраты на сбыт: произведение числа продаж (5 строка)
			и затрат на изделие (ячейка B19).

8	=B6-B7		Валовая прибыль: разность выручки от реализации (строка
			6) и затрат на сбыт (строка 7).

10	Фиксированное знач.		Расходы на торговый персонал.

11	Фиксированное знач.		Средства на рекламу (около 6,3% от продаж).

12	=0.15*B6		Косвенные затраты в фонд корпорации: 15% выручки от
			реализации (строка 6)

13	=СУММ(B10:B12)		Суммарные расходы: затраты на персонал (10 строка),
			рекламу (11 строка) и косвенные затраты (12 строка).

15	=B8-B13		Производственная прибыль: валовая прибыль (8 строка)
			за вычетом суммарных затрат (13 строка).

16	=B15/B6		Норма прибыли: отношение прибыли (15 строка) и выручки
			от реализации (6 строка).

18	Фиксированное знач.		Цена изделия

19	Фиксированное знач.		Затраты на изделие

Представлена типичная модель сбыта, отражающая увеличение числа продаж от заданной величины
(обусловленной, например, затратами на персонал) при увеличении затрат на рекламу и уменьшении прибыли.
Так, первые 5000 р. затраченные на рекламу в первом квартале приводит к увеличению числа продаж на 1092
единицы, а следующие 5000 р. - только на 775 единиц.

Поиск решения поможет определить необходимость увеличения рекламного бюджета или его
перераспределения с учетом сезонной поправки.

Нахождение значения, при котором заданная величина максимальна
Один из вариантов использования данной надстройки - определения наибольшего значения в ячейке при
изменении другой. Ячейки должны быть связаны формулой листа Excel. В противном случае при изменении
значения в одной ячейке значение в другой будет оставаться неизменным.

Пусть, например, требуется определить расходы а рекламу для получения наибольшей прибыли в первом
квартале. Необходиться добиться наибольшей прибыли, изменяя затраты на рекламу.


n	В меню Сервис выполните команду Поиск решения. Задайте B15 в качестве
	результирующей ячейки (прибыль за первый квартал) на листе Excel. Выберите
	поиск наибольшего значения и укажите в качестве изменяемой ячейки B11 (расходы
	на рекламу в первом квартале). Запустите процесс поиска решения.

В процессе решения задачи в строке состояния будут отображаться сообщения. Через некоторое время
появится сообщение о том, что решение найдено. В соответствии с найденным решением, затратив 17093 р.
на рекламу в первом квартале можно получить наибольшую прибыль, которая составит 15093 р.

n	После ознакомления с результатами выберите параметр Восстановить исходные
	значения и нажмите кнопку OK для восстановления исходного значения ячейки B11.

Восстановление исходных значений параметров

Для восстановления исходных значений параметров в диалоговом окне Поиск решения и перехода к решению
другой задачи, нажмите кнопку Восстановить.

Нахождение значения за счет изменения нескольких величин

Имеется возможность поиска наибольшего или наименьшего значения для заданной величины, одновременно
изменяя несколько других величин. Например, можно определить бюджет на рекламу в каждом квартале,
соответствующий наибольшей годовой прибыли. Поскольку задаваемая в 3 строке сезонная поправка входит
в расчет числа продаж (строка 5) в качестве сомножителя, целесообразно увеличить затраты на рекламу в 4
кваратле, когда прибыль от продаж наибольшая и уменьшить, соответственно, в 3 квартале. Поиск решения
позволит найти наилучшее распределение затрат на рекламу по кварталам.

n	В меню Сервис выполните команду Поиск решения. Задайте F15 (общая прибыль
	за год) в качестве результирующей ячейки. Выберите поиск наибольшего значения
	и задайте в качестве изменяемых ячеек B11:E11 (расходы на рекламу в каждом
	квартале). Запустите процесс поиска решения.

n	После ознакомления с результатами выберите параметр Восстановить исходные
	значения и нажмите кнопку OK для восстановления исходных значений ячеек.

Рассмотренная задача является нелинейной задачей оптимизации средней степени сложности; то есть поиск
значения уравнения с четырьмя неизвестными в ячейках с B11 по E11. (Нелинейность уравнения связана
с операцией возведения в степень в формуле строки 5). Результат этой оптимизации без ограничений
говорит о возможности увеличения годовой прибыли до 79706 р. при годовых затратах на рекламу 89706 р.


Наиболее близкие к жизни модели учитывают также ограничения, накладываемые на те или иные величины.
Эти ограничения могут относиться к ячейкам результата, ячейкам изменяемых данных или другим величинам,
используемых в формулах для этих ячеек.

Добавление ограничения

Итак, бюджет покрывает расходы на рекламу и обеспечивает получение прибыли, однако, наблюдается
тенденция к уменьшению эффективности вложений. Поскольку нет гарантии, что данная модель зависимости
прибыли от затрат на рекламу будет работать в следующем году (учитывая существенное увеличение затрат),
целесообразно ввести ограничение расходов, связаных с рекламой.

Предположим, расходы на рекламу за четыре квартала не должны превышать 40000 р. Добавим в
рассмотренную задачу соответствующее ограничение.

n	В меню Сервис выполните команду Поиск решения и нажмите кнопку
	Добавить. Задайте ссылку на ячейку ограничения F11 (общие расходы на
	рекламу) листа Excel. Содержимое этой ячейки не должно превышать
	40000 р. Установленное по умолчанию отношение <= (меньше или равно
	требуется. В поле, расположенном справа, введите число 40000. Нажмите кнопку
	OK, а затем - Выполнить.

n	После ознакомления с результатами восстановите первоначальные значения ячеек.

В соответствии с найденным решением на рекламу будет выделено 5117р. в 3 квартале и 15263р. - в 4.
Прибыль увеличится с 69662р. до 71447р. без увеличения бюджета на рекламу.

Изменение ограничения

Поиск решения позволяет экспериментировать с различными параметрами задачи, для определения наилуч-
шего варианта решения. Например, изменив ограничения, можно оценить изменение результата. Попробуйте
на листе примера изменить ограничение на рекламный бюджет с 40000р. до 50000р. и посмотреть, как изме-
нится при этом общая прибыль.

n	В меню Сервис выберите пункт Поиск решения. В списке Ограничения:
	уже задано ограничение $F$11<=40000. Нажмите кнопку Изменить. Измените в
	поле значения 40000 на 50000. Нажмите кнопку OK, а затем - Выполнить.
	Выберите параметр Сохранить найденное решение в диалоговом окне
	Результаты поиска решения и нажмите кнопку OK, чтобы сохранить результаты.

Найденное решение соответствует прибыли 74817р., что на 3370 р. больше прежнего значения 71447 р.
Для большинства предприятий увеличение капиталовложений на 10000 р., приносящее 3370 р. (т.е. 33,7 % воз-
врат вложений) явлется оправданным. Прибыль при таком решении будет на 4889 р. меньше, по сравнению с
задачей без ограничений, однако при этом требуется и на 39706 р. капиталовложений меньше.

Сохранение модели задачи

При выполнении команды Сохранить меню Файл последние заданные параметры задачи будут сохранены
вместе с листом Excel. Однако, для листа Excel может быть определено несколько задач, если сохранять их
по отдельности с помощью команды Сохранить модель... в диалоговом окне Параметры поиска решения.
Каждая модель задачи определяется ячейками и ограничениями, заданными в этом диалоговом окне.


При сохранении модели предлагается выбрать интервал, включающий активную ячейку, используемый для
сохранения модели. В интервал входят ячейки ограничений и три дополнительные ячейки. Убедитесь в том,
что этот интервал на листе Excel интервал не содержит данных.


n	В меню Сервис выберите пункт Поиск решения и выполните команду Параметры.
	Нажмите кнопку Сохранить модель. В поле задания области модели укажите
	интервал ячеек H15:H18 и нажмите кнопку OK.

Примечание В поле задания области модели можно ввести ссылку на отдельную ячейку. Эта ячейка будет
рассматриваться, как верхний левый угол интервала для копирования параметров задачи.


Для загрузки сохраненных параметров нажмите кнопку Загрузить модель... в диалоговом окне Параметры
поиска решения, после чего задайте ячейки h15:h18 в поле области модели или выделите эти ячейки на листе
Excel. Нажмите кнопку OK. Подтвердите сброс текущих значений параметров задачи и замену их на новые.

Пример: Структура производства с уменьшением нормы прибыли

Ваше предприятие выпускает теливизоры, стерео- и акустические системы, используя
общий склад комплектующих. В связи с ограниченностью запаса необходимо найти
оптимальное соотношение объемов выпуска изделий. Следует учитывать уменьшение
удельной прибыли при увеличении объемов производства в связи с дополнительными
затратами на сбыт.

			Телевизор	Стерео	Ак .сист.
		Количество->	100	100	100
Наим. изд.	Склад	Использ.
Шасси	450	200	1	1	0
Кинескоп	250	100	1	0	0	Уменьшение
Динамик	800	500	2	2	1	коэфф.
Блок пит.	450	200	1	1	0	отдачи
Элек. плата	600	400	2	1	1	0,9
			Прибыль:
		По видам изделий	4 732р.	3 155р.	2 208р.
		Всего	10 095р.

Эта модель включает данные по нескольким изделиям, в которых использованы общие комплектующие,
каждому из которых соответствует своя норма прибыли. Запас комплектующих ограничен и задача
сводится к определению количества каждого вида изделий для получения наибольшей прибыли.

Параметры задачи

Результат		D18		Цель - получение наибольшей прибыли.

Изменяемые данные		D9:F9		Количество выпускаемых изделий каждого вида.

Ограничения		C11:C15<=B11:B15		Количество использованных комплектующих не
				должно превышать их запаса на складе.

		D9:F9>=0		Количество выпускаемых изделий должно быть
				больше 0.

В формулу прибыли на изделие в ячейках D17:F17 входит коэффициент ^H15, учитывающий уменьшение
прибыли с ростом объема. В H15 содержится 0,9, что делает задачу нелинейной. Изменение H15 на 1,0
(если прибыль не зависит от объема производства) и повторно запустить процесс поиска решения,
найденное ранее оптимальное решение будет другим. Данное изменение делает задачу линейной.

Пример: Задача перевозки грузов.

Требуется минимизировать затраты на перевозку товаров от предприятий-производителей
на торговые склады. При этом необходимо учесть возможности поставок каждого из произ-
водителей при максимальном удовлетворении запросов потребителей.

		Число перевозок от завода x к складу y:
Заводы:	Всего	Казань	Рига	Воронеж	Курск	Москва
Беларусь	5	1	1	1	1	1
Урал	5	1	1	1	1	1
Украина	5	1	1	1	1	1
		---	---	---	---	---
Итого:		3	3	3	3	3

	Потребности складов -->	180	80	200	160	220
Заводы:	Поставки	Затраты на перевозку от завода x к складу y:
Беларусь	310	10	8	6	5	4
Урал	260	6	5	4	3	6
Украина	280	3	4	5	5	9

Перевозка:	83р.	19р.	17р.	15р.	13р.	19р.

В этой модели представлена задача доставки товаров с трех заводов на пять региональных складов
Товары могут доставляться с любого завода на любой склад, однако, очевидно, что стоимость
доставки на большее расстояние будет большей. Требуется определить объемы перевозок между
каждым заводом и складом, в соответствии с потребностями складов и производственными
заводов, при которых транспортные расходы минимальны.

Параметры задачи

Результат		B20		Цель - уменьшение всех транспортных расходов

Изменяемые данные		C8:G10		Объемы перевозок от каждого из заводов к
				каждому складу.

Ограничения		B8:B10<=B16:B18		Количества перевезенных грузов не могут превы-
				шать производственных возможностей заводов.

		C12:G12>=C14:G14		Количество доставляемых грузов не должно быть
				меньше потребностей складов.

		C8:G10>=0		Число перевозок не может быть отрицательным.


Наиболее быстрое решение данной задачи можно получить, если выбрать использование линейной
модели перед началом поиска решения. Для задачи такого вида оптимальное целое решение для
целых значений объемов перевозок получается, если заданные ограничения - также целые числа.

Пример: График занятости персонала Парка отдыха

Для работников с пятидневной рабочей неделей и двумя выходными подряд требуется подобрать график
работы, обеспечивающий требуемый уровень обслуживания при наименьших затратах на оплату труда.


График	Выходные дни		Работники		Вс	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб
A	Воскрес., понедельник		4		0	0	1	1	1	1	1
Б	Понедельник, вторник		4		1	0	0	1	1	1	1
В	Вторник, среда		4		1	1	0	0	1	1	1
Г	Среда, четверг		6		1	1	1	0	0	1	1
Д	Четверг, пятница		6		1	1	1	1	0	0	1
Е	Пятница, суббота		4		1	1	1	1	1	0	1
Ж	Суббота, воскресенье		4		0	1	1	1	1	1	0

		Всего:	32		24	24	24	22	20	22	28

		Всего требуется:			22	17	13	14	15	18	24

Дневная оплата работника:			40р.
Общая недельная зарпл.:			1 280р.

Задачей данной модели является составление графика занятости, обеспечивающего удовлетворение
потребности в персонале при минимальных затратах на оплату труда. В этом примере ставки одинаковы,
поэтому снижение числа ежедневно занятых сотрудников приводит к уменьшению затрат на персонал.
Каждый сотрудник работает пять дней подряд с двумя выходными.

Параметры задачи

Результат		D20		Цель - минимизация расходов на оплату труда.

Изменяемые данные		D7:D13		Число работников в группе.

Ограничения		D7:D13>=0		Число работников в группе не может быть
				отрицательным.

		D7:D13=Целое		Число работников должно быть целым.

		F15:L15>=F17:L17		Число ежедневно занятых работников не должно быть
				меньше ежедневной потребности.

Вариант графика		Строки 7-13		1 означает, что данная группа в этот день работает.

В данном примере используется ограничение целых чисел, поскольку дробное число сотрудников недо-
пустимо. Выбор линейной модели в диалоговом окне параметров ускорит получение результата.

Пример 4: Управление оборотным капиталом.

Требуется с наибольшей доходностью разместить дополнительные средства в 1-, 2- и
6-месячных депозитах, учитывая собственные потребности в средствах (и гарантийный резерв).

	Доход	Срок		Депозиты по месяцам:
1-мес. депозит:	1%	1		1, 2, 3, 4, 5 и 6			Доход по
3-мес. депозит:	4%	3		1 и 4			процентам
6-мес. депозит:	9%	6		1		Всего	7 700р.

Месяц:	1-й месяц	2-й месяц	3-й месяц	4-й месяц	5-й месяц	6-й месяц	Конец
Нач. сумма:	400 000р.	205 000р.	216 000р.	237 000р.	158 400р.	109 400р.	125 400р.
Погаш. деп.:		100 000	100 000	110 000	100 000	100 000	120 000
Проценты:		1 000	1 000	1 400	1 000	1 000	2 300
1-м.депозит:	100 000	100 000	100 000	100 000	100 000	100 000
3-м.депозит:	10 000			10 000
6-м.депозит:	10 000
Расходы:	75 000	-10 000	-20 000	80 000	50 000	-15 000	60 000
Кон. сумма:	205 000р.	216 000р.	237 000р.	158 400р.	109 400р.	125 400р.	187 700р.

	-290000

Одной из задач сотрудника или управляющего финансового отдела является управление средствами и
краткосрочные вложения с максимальной прибылью при сохранении достаточного резерва для покрытия
расходов. Более доходными могут оказаться долгосрочные депозиты, однако краткосрочные депозиты
предоставляет более гибкие возможности управления финансовыми средствами.

В данной модели конечная сумма расчитывается исходя из начальной (из прошлого месяца), плюс погашае-
мые депозиты, минус новые депозиты и с учетом ежемесячных потребностей самого предприятия.

Необходимо определить девять сумм: ежемесячные суммы для 1-месячных депозитов; суммы депозитов
1 и 4 месяца для квартальных депозитов; сумму шестимесячного депозита в 1 месяце.


Параметры задачи

Результат		H8		Цель - получение наибольшего дохода по процентам

Изменяемые данные		B14:G14		Сумма по каждому типу депозита.
		B15, E15, B16

Ограничения		B14:G14>=0		Сумма каждого депозита не может быть меньше
		B15:B16>=0		нуля.
		E15>=0

		B18:H18>=100000		Конечная сумма не должна быть меньше 100000 р.


Найденное оптимальное решение предполагает получение дохода по процентам в размере 16531 р. при вло-
жении максимально возможных сумм в шести- и трехмесячные депозиты, с последующим возвратом к од-
номесячным. Данное решение удовлетворяет всем поставленным ограничениям.

Предположим, что необходимо обеспечить достаточные средства для оплаты оборудования в 5 месяце.
Это накладывает ограничение на средний срок действия депозита в 1 месяце, который не должен
превышать четырех месяцев.

Формула в ячейке B20 вычисляет общие суммы вложений в 1 месяце (B14, B15 и B16), умноженные на
сроки действия (1, 3 и 6 месяцев) и вычитает общую сумму депозита, умноженную на 4.
Если получено отрицательное число, средний срок погашения не превышает 4 месяцев. Чтобы добавить
это ограничение, восстановите исходные значения и выберите пункт Поиск решения в меню Сервис.
Выберите Добавить . Задайте b20 в поле Ссылка на ячейку, 0 - в поле Ограничение и нажмите кнопку
OK. Чтобы найти решение задачи, нажмите кнопку Выполнить.
В соответствии с заданным ограничением средства помещаются в основном на трехмесячные депозиты.
Средний срок возврата депозита составляет 4 месяца, после чего средства снова помещаются на трехме-
сячный депозит. Если требуются свободные средства, они могут не помещаться на депозит. Возвращае-
мой в 4 месяце суммы 56896 р. достаточно для оплаты оборудования в 5 месяце. Данная возможность
приобретается потерей около 460 р. дохода по процентам.

Пример 5: Портфель ценных бумаг.

Требуется найти соотношение акций различного вида в портфеле так, чтобы обеспечить
максимальную скорость оборота при заданном уровне риска. В примере используется
одноиндексная модель Шарпа. Возможно также использование также метода Марковица.

Безопасная скорость		6%		Биржевые изменения		3%
Биржевая скорость		15%		Максимальная доля		100%

	Бета	РезИзм		Доля	*Бета	*Изм.	Цветовые обозначения
Акция A	0,80	0,04		20,0%	0,160	0,002
Акция B	1,00	0,20		20,0%	0,200	0,008
Акция C	1,80	0,12		20,0%	0,360	0,005
Акция D	2,20	0,40		20,0%	0,440	0,016
Казн. Чеки	0,00	0,00		20,0%	0,000	0,000

Всего				100,0%	1,160	0,030
				Оборот		Изменение
		Всего по портфелю:		16,4%		7,1%

Максимум оборота: A21:A29			Минимум риска: D21:D29
0,1644			0,070768
5			5
ИСТИНА			ИСТИНА
ИСТИНА			ИСТИНА
ИСТИНА			ИСТИНА
ИСТИНА			ИСТИНА
ИСТИНА			ИСТИНА
ИСТИНА			ИСТИНА
ИСТИНА			ИСТИНА

Одним из основных принципов управления инвестициями является размещение средств в различных
ценных бумагах, что обеспечивает уменьшение риска потери средств по отдельным видам вложений.


С помощью этой модели можно найти вариант размещения средств с наименьшим риском портфеля при
фиксированной доходности или с наибольшей доходностью при фиксированном уровне риска.

На этом листе Excel представлены данные для бета (биржевых рисков) и остаточного изменения для
четырех акционерных компаний. Помимо этого в портфель включены казначейские векселя, для которых
предполагается отсутствие риска и нулевое биржевое изменение. В каждый вид ценных бумаг инвести-
руются первоначально равный суммы (20 процентов портфеля).

Поиск решения позволяет рассмотреть различные варианты размещения средств для получения наи-
большего оборота при заданном уровне риска или минимального риска при заданном уровне
оборота. При равном 20 процентоном вложении оборот составит 16,4, а изменение - 7,1 процента.

Параметры задачи

Результат			E18		Цель - получение наибольшей доходности.

Изменяемые данные			E10:E14		Доля каждой акции.

Ограничения			E10:E14>=0		Доли не должны быть отрицательными.

			E16=1		Сумма долей должна быть равна 1.

			G18<=0.071		Изменение не должно превышать 0,071.

Бета для каждой акции			B10:B13

Изменение для каждой акции			C10:C13

В ячейках D21:D29 содержатся данные для задачи минимизации риска для заданного оборота 16,4 про-
цента. Чтобы учесть эти данные в поиске решения, выберите пункт Поиск решения в меню Сервис,
выполните команду Параметры, нажмите кнопку Загрузить модель.., выделите на листе Excel ячейки
D21:D29 и нажимайте кнопку OK, пока не отобразится диалоговое окно Поиск решения. Нажмите кнопку
Выполнить. В результате будет найдено распределение средств, отличающееся от равномерного.

Можно добиться более высокого оборота (17,1 процента) при том же риске или уменьшить риск без сни-
жения оборота. Оба распределения будут соответствовать эффективному портфелю.

В ячейках A21:A29 описана исходная модель. Чтобы повторно загрузить задачу, выберите пункт Поиск
решения в меню Сервис, выполните команду Параметры, нажмите кнопку Загрузить модель..,
выделите ячейки A21:A29 и нажмите кнопку OK.

Подтвердите сброс текущих значений параметров на параметры загружаемой модели.

Пример 6: Вычисление сопротивления в электрической цепи

Определить номинал резистора в электрической цепи, падение напряжения на котором
через одну двадцатую секунды после замыкания цепи составляет 1 процент.

В данной модели представлена электрическая цепь с батареей, выключателем, конденсатором,
резистором и катушкой индуктивности. Когда выключатель повернут влево, происходит заряд
конденсатора от батареи. При переключении выключателя конденсатор разряжается через
резистор и индуктивность, на которых рассеивается часть электрической энергии.

Второй закон Кирхгофа позволяет составить и решить дифференциальное уравнение временной
зависимости для величины заряда конденсатора. Формула связывает величину заряда q[t] в
в момент t с индуктивностью L, сопротивлением R и емкостью C элементов электрической цепи.

Используя данное средство можно определить номинал резистора R (при заданных величинах
индуктивности L и емкости C), падение напряжения на котором составит один процент от общего
падения напряжения в течение одной двадцатой секунды после замыкания цепи.

Параметры задачи

Результат	G15	Требуется добиться значения 0,09.

Изменяемые данные	G12	Величина сопротивления резистора

Ограничения	D15:D20	Алгебраическое выражение закона Кирхгофа.

Данная задача и ее решение верны для узкого диапазона значений; функция зависимости
заряда конденсатора от времени в действительности является затухающей синусоидой.

Внимание!

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы

Бесплатная оценка

Размер: 33.23K

Скачано: 336

Скачать бесплатно

03.10.12 в 14:41 Автор:

Понравилось? Нажмите на кнопочку ниже. Вам не сложно, а нам приятно).

Чтобы скачать бесплатно Задачи на максимальной скорости, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь на сайте.

Важно! Все представленные Задачи для бесплатного скачивания предназначены для составления плана или основы собственных научных трудов.

Друзья! У вас есть уникальная возможность помочь таким же студентам как и вы! Если наш сайт помог вам найти нужную работу, то вы, безусловно, понимаете как добавленная вами работа может облегчить труд другим.

Добавить работу

Если Задача, по Вашему мнению, плохого качества, или эту работу Вы уже встречали, сообщите об этом нам.

Добавление отзыва к работе

Добавить отзыв могут только зарегистрированные пользователи.