Главная » Банк рефератов » Методы оптимальных решений » Контрольные работы »

Контрольная по методам оптимальных решений вариант 10

Контрольная по методам оптимальных решений вариант 10

Дисциплина: Методы оптимальных решений

Вид работы: Контрольная работа

Тема: Контрольная по методам оптимальных решений вариант 10

Вуз: Финансовый университет

Год и город: Москва 2013

Заказать оригинальную работу

ЗАДАЧА 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» — 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно и распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Сформулируем целевую функцию задачи. Обозначим через переменные х1 и х2 количество напитка «Лимонад» и «Тоник» соответственно (в литрах). Целевой функцией задачи является общая выручка от реализации, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ограничений на использование ресурсов — 2. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная время работы и прибыль фирмы за 1 л., можно сформулировать математическую модель задачи линейного программирования:

можно сформулировать математическую модель задачи линейного программирования

Задачу решаем графическим методом.

Строим область допустимых решений задачи (см. рисунок). Данные для ее построения приведены в таблице:

Ограничение

Граничная прямая

Точки для построения граничной прямой

Неравенство

Выполнение неравенства в контрольной точке (0; 0)

Точка 1

Точка 2

x1

x2

x1

x2

I

 

0

400

1600

0

 

 (да)

II

 

0

600

1200

0

 

 (да)

Стоим вектор-градиент целевой функции задачи. За его начало принимаем точку (0; 0), тогда концом вектора-градиента будет являться точка с координатами, равными коэффициентам целевой функции по соответствующим координатным осям — (0,1; 0,3). Перпендикулярно вектору-градиенту через точку его начала строится линия нулевого уровня целевой функции — прямая, в каждой точке которой целевая функция принимает нулевое значение: f(X)=0.

Для определения положения точки максимума целевой функции линия, параллельная линии нулевого уровня, смещается в направлении вектора-градиента, до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка области допустимых решений при этом движении и является точкой максимума.

В нашей задаче — это точка B, образованная пересечением граничных прямых ограничений I и II. Ее координаты определяются решением системы уравнений этих прямых:

Ее координаты определяются решением системы уравнений этих прямых

откуда x1*=800; x2*=200 и

Таким образом, для получения максимально возможной в данных условиях выручки 140 руб. следует производить 800 л напитка “Лимонад” X1 и 200 л напитка “Тоник” X2.

Решение данной задачи линейного программирования на минимум лишено экономического смысла, так как выручку от реализации продукции стремятся получить наибольшей, а не наименьшей. Однако математически эта задача имеет решение и на минимум: наименьшее значение в области допустимых решений целевая функция принимает в точке (0; 0), и это значение равно

ЗАДАЧА 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Вид ресурсов

Нормы расхода ресурсов на ед. продукции

Запасы ресурсов

I вид

II вид

III вид

Труд

3

6

4

2000

Сырье 1

20

15

20

15000

Сырье 2

10

15

20

7400

Оборудование

0

3

5

1500

Цена изделия

6

10

9

 

            Требуется:

  1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
  2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
  3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
  4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
    • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
    • определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24 единицы;
    • оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 денежных единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц.

Решение. 1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим количество выпускаемых единиц продукции I, II, III соответственно как х1, х2, х3. Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий — 4. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:

модель исходной задачи линейного программирования

Задачу оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора EXCEL (меню «Сервис»):

Задачу оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения»

(для копирования снимка окна в буфер обмена данных используется комбинация клавиш Alt + Print Screen).

Использование надстройки позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х*=(520; 0; 110). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значение f(X*)=4110 (прил. 1).

Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x1*=520 изделий I, x3*=110 изделий III и не производить изделия II (x2*=0).

2. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III, IV как y1, y2y3, y4 соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи — 3. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

Математическая модель двойственной задачи имеет вид

При решении исходной задачи с помощью EXCEL одновременно определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по устойчивости» (прил. 2) приводятся теневые цены ресурсов: y1*=1,5; y2*=0; y3*=0,15; y4*=0.

Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи

совпадает (в пределах погрешности округления) с наибольшим значением целевой функции исходной задачи f(X*).

3. Выпуск изделий II невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что стоимость ресурсов на изготовление единицы этой продукции в теневых ценах превышает цену реализации:

4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(520; 0; 110) и проверим выполнение неравенств:

Видно, что ресурсы I и III используются в оптимальном плане полностью, т. е. являются дефицитными. На это обстоятельство указывает и то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y1*>0; y3*>0). Самым дефицитным является ресурс I, так как он имеет наибольшую теневую цену (y1*=1,5); наименее дефицитен ресурс  III (y3*=0,15).

Ограниченные запасы дефицитных ресурсов I и III сдерживают рост объемов выпускаемой продукции и наибольшей выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса I на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 1,5 руб., увеличение объема ресурса III на единицу — на 0,15 руб.        

Ресурсы II и IV являются недефицитными (y2*=0; y4*=0), т. е. избыточными в оптимальном плане. Увеличение объемов этих ресурсов не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.

Определим, насколько изменится общая стоимость выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости» видно, что эти изменения происходят в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» правых частей ограничений в прил. 2), что дает возможность сразу рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции, не решая новую задачу линейного программирования:

При этом «новая» наибольшая выручка составит

 руб.

Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия IV с заданными характеристиками рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации:

Следовательно, продукцию IV выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции. Это, в свою очередь, препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие IV реализовывалось по цене равной или большей 15 руб., то его производство было бы выгодным.

ПРИЛОЖЕНИЕ:

         1) рабочий лист EXCEL;

         2) «Отчет по устойчивости».

Чтобы полностью ознакомиться с контрольной, скачайте файл!

Скачать работу можно на сайте бесплатно для ознакомления по теме: Контрольная по методам оптимальных решений вариант 10!

ДРУЗЬЯ! Вы можете ЗАКАЗАТЬ уникальную работу у наших партнеров a24help.ru.

+3

Размер: 86.30K
Скачано: 108
Скачать

Автор:

Данная работа находится в свободном доступе.
Чтобы скачать бесплатно работу на максимальной скорости, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь на сайте.


Расскажите другим о работе:

Если работа, по Вашему мнению, плохого качества, или она Вам уже встречалась, сообщите об этом нам.


Добавление отзыва к работе

Текст отзыва:

Похожие работы: