Контрольная работа по Методам оптимальных решений Вариант №5

Рис.1. Система с фиксированным размером заказа

Эта система имеет два регулирующих параметра: точка заказа S (фиксированный уровень запаса, при снижении которого организуется заготовка очередной партии сырья, материалов и т.п.) и размер заказа q, причем последний параметр постоянен.

Система с фиксированным размером заказа требует регулярного учета движения остатков, с тем чтобы не был упущен момент наступления точки заказа. Кроме того, условием эффективного функционирования этой системы является относительное постоянство времени, необходимого на организацию и осуществление очередной партии поставки.

Система с фиксированной периодичностью заказа. При этой системе заказы на очередную поставку сырья повторяются через одинаковые промежутки времени. В конце каждого периода проверяется уровень запасов и, исходя из этого, определяется размер заказываемой партии. В процессе функционирования этой системы запас пополняется каждый раз до определенного уровня, не превышающего максимального запаса, но  помощью различных партий поставок, зависящих от степени расходования запаса в предшествующем периоде.

Регулирующими параметрами системы с фиксированной периодичностью заказа является максимальный уровень S, до которого осуществляется пополнение запасов, и продолжительность периода повторения заказов τ. Оба параметра постоянны. Варьируется лишь размер партии q.

Типичный процесс в системе и фиксированной периодичностью заказа показан на рис. 2.

Рис.2. Система с фиксированной периодичностью заказа

Эффективное функционирование рассматриваемой системы достигается, когда имеется возможность заготавливать материалы в любых размерах, причем расходы на оформление заказа любого размера невелики. Явными достоинствами этой системы являются возможность периодической проверки остатков на складах (к моменту подачи заказа) и отсутствие необходимости вести систематический учет движения остатков.

Система с двумя фиксированными уровнями, или (s, S) – система. Допустимый уровень запасов в системе с двумя фиксированными уровнями (ее называют (s, S) – системой) регламентируется как сверху, так и снизу. Кроме максимального верхнего уровня запаса S, до которого может осуществляться пополнение запаса, устанавливается нижний уровень s (точкам заказа).

Регулирующими параметрами рассматриваемой системы являются нижний s и верхний S уровни запаса (величины постоянные), периодичность заказа τ (величина переменная).

Саморегулирующиеся системы. Рассмотренные ранее системы предполагают относительную неизменность условий, в которых функционирует та или иная система. В действительности же такое постоянство условий бывает редко из-за изменения потребности, условий поставки и т.п. В связи с этим возникает необходимость в создании комбинированных систем с возможностью саморегулирования применительно к изменившимся условиям. Так возникают системы с изменяющимся размером заказа, вероятностным временем отставания выполнения заказа и т.д.

Системы оптимального управления запасами. Системы оптимального управления запасами связаны с широким применением математических методов. При оптимальном подходе предпринимается все возможное, чтобы не только хорошо управлять, но и отыскать наилучшее управление из всех возможных.

Некоторую стратегию управления запасами обозначим через  = (u₁,u₂, ..., u_n), где u_i – управляющие переменные. Каждая такая стратегия  связана с определенными затратами по доведению материальных средств до потребителей: Ф ( ).

Тогда задача по оптимальному управлению запасами состоит в минимизации функции затрат

min Ф ( ) (1)

При условии, что   принадлежит некоторому множеству возможных (допустимых) управлений G

Если на выбор   не накладывается каких-либо ограничений, перед нами безусловная задача оптимизации. Задача (1), (2) – задача математического программирования.

Конкретная математическая формулировка (экономико-математическая модель – ЭММ) задачи отыскания оптимальной стратегии (1), (2) существенно зависит от исследуемой реальной ситуации. Однако общность принимаемых в расчет факторов позволяет говорить о единстве тех или иных элементов, которые учитываются при моделировании управления запасами.

Основными элементами задачи оптимального управления запасами являются:

система материально-технического обеспечения (МТО);спрос на предметы МТО;возможность пополнения запасов;принятая стратегия управления запасами;функция затрат (цели).Расходы на хранение включают в себя расходы на содержание складского помещения (или плату за арену), оплату труда складского персонала и амортизацию оборудования, потери от естественной убыли хранимых материалов, потери от снижения потребительских качеств материалов и омертвления денежных средств, вложенных в запасы (иммобилизация). Эти издержки прямо пропорциональны величине поставки.Расходы, входящие в стоимость поставки, включают расходы, связанные с оформлением заказа, заключением договоров и соглашений на поставку, почтовые, телеграфные, канцелярские и прочие управленческие расходы. Эти расходы пропорциональны количеству поставок, т.е. обратно пропорциональны величине партии поставки.Потери от дефицита – расходы из-за неудовлетворенного спроса. Их определение – задача весьма сложная, в частности, из-за того, что имеется ряд косвенных потерь, таких как простои оборудования и рабочей силы у потребителя из-за отсутствия материалов, неэкономная замена материалов и т.п. В настоящее время в моделях используются различные оценки этих потерь (например, разность между стоимостью обычной и стоимостью экстренной доставки товара; упущенная прибыль; простой оборудования и т.п.). Наличие в ЭММ оптимизации запасов всех видов издержек не обязательно. Могут иметь место как модели, в которых допускаются случаи дефицита, так и модели, в которых дефицит не допускается.детерминированные – предусматривают достаточную точность входящих параметров;стохастические – позволяют установить потребность в материалах с учетом вероятностного фактора;динамические – предполагают изменения входящих параметров во времени. Наиболее важным параметром в динамической модели является интенсивность спроса..

Методы управления запасами.

Норма запаса – это минимальное количество предметов труда, находящееся у предприятия и необходимое для бесперебойного снабжения производства. 

Для определения норм запасов используются три группы методов: 

методы технико-экономических расчетов;экономико-математические методы. 

где Т_з — темп роста запасов; 

Т_о — темп роста спроса. 

При вышеуказанном соотношении между спросом и запасами возможно ускорение оборачиваемости оборотных средств. 

Задание 2

Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 т соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены: краски Е – 3000 ден. ед./т, краски I – 2000 ден. ед./т.

Определите, какое количество краски каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Постройте экономико-математическую модель задачи, дайте необходимые комментарии к ее элементам и получите решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Пусть  х₁ — количество краски Е; х₂ — количество краски I.

Таким образом, целевая функция имеет вид:

При следующих ограничениях:

Строим график ограничений и находим общее множество решений:

Рис. 1. График ограничений

Множеством допустимых решений, удовлетворяющих всем ограничениям одновременно, будет  заштрихованная фигура. Максимум искомой функции  находится в одной из вершин этого многоугольника.

Найдем координаты вершин многоугольника:

Вершина в точке А находится на пересечении прямых х₂-х₁=1 и х₂=2.

В результате решения системы получаем, что координаты точки А(1;2).

Вершина в точке В находится на пересечении прямых х₂-х₁=1 и х₁+2х₂=6. Координаты точки В(1,33;2,33).

Вершина в точке С находится на пересечении прямых х₁+2х₂=6 и х₂=2. Координаты точки С(2;2).

Найдем максимум целевой функции F(X)=3000х₁+2000х₂, подставив координаты:

F(X)=3000*1+2000*2=7000 ден.ед.

F(X)=3000*1,33+2000*2,33=8665 ден.ед.

F(X)=3000*2+2000*2=10000 ден.ед.

Таким образом, чтобы доход от реализации продукции был максимальным 10000 ден.ед., фирма должна производить 2 т краски Е и 2 т краски I (точка С).

Если решать задачу на минимум, то необходимо производить 1 т краски Е и 2 т краски I (точка А) и тогда доход от реализации продукции составит 7000 ден.ед.

Проверка правильности решения с помощью средств MS Excel.

1. Вводим исходные данные (рис.2).

Рис. 2. Исходные данные

Вводим зависимость для целевой функции (рис.3).

Рис. 3. Зависимость для целевой функции

1. Копируем формулу в ячейки С4÷С7.
2. Запускаем команду поиск решения (рис.4).

Рис.4. Условия задачи в поиске решения

1. Найдем решение. После нажатия кнопки «Выполнить» запускается процесс решения задачи (рис.5).

Рис. 5. Решение задачи

Ответ: чтобы получить максимальный 10000 ден.ед. доход от реализации продукции, фирма должна производить 2 т краски Е и 2 т краски I.

Задание 3

Пекарня закупает пшеничную хлебопекарную муку в мешках. В среднем пекарня использует 750 мешков муки в год. Подготовка и получение одного заказа обходится в 160 руб. Годовая стоимость хранения одного мешка муки составляет 30 руб. Доставка заказа осуществляется в течение двух дней. Пекарня работает 365 дней в году.

Определите:

а) экономичный объем заказа;

б) годовую стоимость хранения муки;

в) период поставок;

г) точку заказа.

Дано:                   T = 365 р.д./г.

                            M = 750 м./г.

                            K = 160 руб./шт.

                            h = 30 руб./м. в год

                            t = 2 дня.

Решение:

а) экономичный объем заказа:

б) годовая стоимость хранения муки:

в) период поставок:

г) точку заказа:

Т.е., через каждые 44 рабочих дня, когда в наличие у пекарни остается 4 мешка хлебопекарной муки, делается заказ на поставку 90 мешков.

Задание 4

В бухгалтерии организации в определенные дни непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.) в тот момент, когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся коллег, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно λ, а среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, – Т_ср мин.

λ=14;

Т_ср = 10.

Оцените основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать непроизводительных потерь рабочего времени!). Определите, сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%.

Решение:

1. Рассчитаем вероятность отказа в обслуживании по формуле:

  - нагрузка на систему.

Расчет нагрузки на систему (рис.6):

Рис.6. Расчет нагрузки на систему

Рассчитаем вероятности Р₀ячейке С5 без степени -1, для 1 числа канала (рис.7):

Рис. 7. Расчет вероятности

Рассчитаем вероятность Р₀ для остальных каналов меняя в формуле 1 на ячейку С4, и скопируем для ячеек С5-С13.Рассчитаем вероятность Р₀ в ячейке D4 ставя ячейку С4 в степень -1, и скопируем формулу в ячейки D5-D13;Рассчитаем вероятность Р_отк в ячейке F4, и скопируем формулу в ячейки F5-F13.

Рис. 8. Полученные данныеОтносительная пропускная способность В, т.е. вероятность того, что заявка будет обслуженаАбсолютная пропускная способность А получим, умножая интенсивность потока заявок