Контрольная по эконометрике вариант 8

Тема: Контрольная по эконометрике вариант 8

Раздел: Бесплатные рефераты по эконометрике

Тип: Контрольная работа | Размер: 49.79K | Скачано: 295 | Добавлен 15.02.10 в 17:54 | Рейтинг: 0 | Еще Контрольные работы

Вуз: ВЗФЭИ

Год и город: Владимир 2009

Задача.

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.)

Х	17	22	10	7	12	21	14	7	20	3
Y	26	27	22	19	21	26	20	15	30	13

Требуется:

1.Наити параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S_t²; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения с помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации R², проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения линейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты Фишера и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

 

Задача.

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.)

Х	17	22	10	7	12	21	14	7	20	3
Y	26	27	22	19	21	26	20	15	30	13

Требуется:

1.Наити параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Открываем EXCEL, вводим исходные данные → Сервис → Анализ данных → Регрессия. В окне Регрессия вводим входные интервалы для Х и Y, ставим флажки в полях: метки, новый рабочий лист, остатки, график остатков, график подбора → ОК.

На листе «Регрессия» получаем коэффициенты уравнения линейной регрессии

	Коэффициенты
Intercept	11,78
Х	0,76

и подставляем их в уравнение: у = 11,78 + 0,76х.

Экономическое значение параметра 0,76: при изменении капиталовложений Х на 1 млн. руб. объем выпуска продукции Y изменится на 0,76 млн. руб.

 

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S_t²; построить график остатков.

Остатки найдены с помощью инструмента Регрессия, там же строится график. Сумму квадратов остатков найдем с помощью средств EXCEL. Остаточная сумма квадратов ∑ ε² = 37,96.

RESIDUAL OUTPUT
Observation	Предск. У	Остатки	е2
1	24,71	1,29	1,65
2	28,52	-1,52	2,31
3	19,39	2,61	6,82
4	17,11	1,89	3,58
5	20,91	0,09	0,01
6	27,76	-1,76	3,09
7	22,43	-2,43	5,92
8	17,11	-2,11	4,44
9	27,00	3,00	9,02
10	14,06	-1,06	1,13
сумма		0,00	37,96

Дисперсию найдем по формуле:

St2 =	∑ ε 2
	n – 1

S_t² = 37,96 / (10 – 1) = 4,22.

 

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

Модель считается адекватной, если выполняются следующие 4 условия для остаточной компоненты   ε _t = y_t – y_tрассч.:

1ое: Случайность колебаний уровней остаточной последовательности. Проверка этой случайности проводится с помощью критерия пиков: считается число пиков (поворотных точек) на графике остатков – точки минимума и максимума. Модель считается адекватной, если фактическое число пиков p_факт > р = [2/3(n – 2) – 1.96√ (16n – 29)/90], n = 10, квадратные скобки означают, что берется целая часть числа, которое получится.

р = [2,96] = 2. р_факт = 4 > 2, следовательно критерий выполняется.

2ое: Соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения – оно оценивается с помощью R/S критерия, где R – размах колебаний, а S – стандартное отклонение случайной величины, рассчитываемое по формуле S = √ ∑ ε _i² (n – 1).

R = 3,00 + 2,43 = 5,43;  S = √37,96/(10-1) = 2,05;   R/S = 5,43/2,05 = 2,65.

Сравним вычисленное значение с верхней и нижней табличными границами данного отношения (2,7 – 3,7). 2,65  попадает в этот интервал, следовательно, распределение случайной компоненты соответствует нормальному закону распределения. Модель по этому критерию адекватна.

3ье: Равенство математического ожидания случайной компоненты нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы

Н₀: │ε│=0. В нашем случае ε – среднее арифметическое значение уровней ряда остатков = 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

4ое: Независимость значений остаточной компоненты, отсутствие автокорреляции в ряде остатков, (зависимости значений уровней временного ряда от уровней этого же ряда сдвинутых во времени на некоторую величину τ = 1,2,3…). Отсутствие автокорреляции остатков можно проверить с помощью критерия Дарбина – Уотсона.

d =	∑(εt – εt-1)2
	∑εt2
Остатки	εt – εt-1	(εt – εt-1)2
1,29	- - -
-1,52	-2,80	7,86
2,61	4,13	17,05
1,89	-0,72	0,52
0,09	-1,80	3,25
-1,76	-1,85	3,41
-2,43	-0,67	0,46
-2,11	0,33	0,11
3,00	5,11	26,11
-1,06	-4,07	16,54
Сумма		75,30

d = 75,30/37,96 = 1,98

Расчетное значение находится в интервале (2,4), значит, его надо преобразовать по формуле d^/ = 4 – d = 2,02. Расчетное значение сравнивается с табличными верхней и нижней границами 1,08 и 1,36. 1,36<2,02, следовательно, остатки содержат автокорреляцию и модель по этому критерию неадекватна.

 

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения с помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05).

t_табл найдем с помощью cстатистической функции СТЬЮДРАСПОБР. Для числа степеней свободы = n – k – 1 = 8 (n – число наблюдений, k – число факторов модели)  и вероятности = 0,05 t_табл = 2.31.

t_расч  возьмем из t-статистики в регрессии

t Stat

7,29

6,92

t_расч  > t_табл, значит коэффициент значим.

5. Вычислить коэффициент детерминации R², проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R² возьмем из регрессии:

Regression Statistics
Multiple R	0,92557977
R квадрат	0,86

F_расч  тоже возьмем из регрессии

	df	SS	MS	F
Regression	1	227	227	47,83
Residual	8	38	4,75
Total	9	265

F_табл найдем с помощью функции FРАСПОБР при α = 0,05, и числе степеней свободы 1 (число факторов модели) и 8. F_табл = 5,32 F

F_расч   >  F_табл, следовательно уравнение значимо.

Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Остатки εt	уt	εt /уt
1,29	26	0,05
-1,52	27	-0,06
2,61	22	0,12
1,89	19	0,10
0,09	21	0,00
-1,76	26	-0,07
-2,43	20	-0,12
-2,11	15	-0,14
3,00	30	0,10
-1,06	13	-0,08
Сумма		-0,15

Е_отн = 1/n∑│ε_t/y_t│*100%, Е_отн =1/10*0,15*100% = 1,5% – это часть наших остатков от показателей, уровень точности удовлетворительный, модель можно использовать для прогноза.

 

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Максимальное значение фактора Х = 22, следовательно, Х_прогн = 22*80% = 17,6.

Y_прогн = 11,78 + 0,76 Х_прогн

Y_прогн = 25,16 – это точечный прогноз.

Найдем ширину доверительного интервала:

U(k) = S_ε t_α√1 + 1/n + (Х_прогн– Х_ср)²/∑(Х_i – Х_ср)²

S_ε = √ ∑ ε² / (n – k – 1) = √37,96 / 8 = 2,18

Х_ср = ∑ Х_i / n = 133 / 10 = 13,3

∑(Х_i – Х_ср)² = 0.

№	Х	У	Хi -Хср
1	17	26	3,7
2	22	27	8,7
3	10	22	-3,3
4	7	19	-6,3
5	12	21	-1,3
6	21	26	7,7
7	14	20	0,7
8	7	15	-6,3
9	20	30	6,7
10	3	13	-10,3
Сумма	133		0,000
Среднее	13,3

t_α найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР. Для числа степеней свободы = 8 и вероятности = 0,1 t_α = 1,86.

U(k) = 2,18*1,86 √ 1 + 1/10 + (17,6 – 13,3)² / 0 = 4,25

Верхняя граница прогноза: Y_{прогн верхн} = 25,16 + 4,25 = 29,41

Нижняя граница прогноза: Y_{прогн нижн} = 25,16 – 4,25 = 20,91

 

7. Представить графически фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

Х прогноз	У прогноз	Верхняя граница	Нижняя граница
17,6	25,16	29,41	20,91

Для необходимых изменений в графике регрессии входим в свойства диаграммы (правая кнопка мыши), выбираем «Исходные данные» и добавляем в этом окне ряды с прогнозными значениями.

 

8. Составить уравнения линейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.

Построение гиперболической модели  y = a + b / x.

Введем обозначение Х = 1/х, тогда  y = a + bХ.

t	х	у	Х	Ху	Х2
1	17	26	0,06	1,53	0,0035
---	---	---	---	---	---
10	3	13	0,33	4,33	0,1111
Сумма	133	219	1,08	20,06	0,1843
Среднее	13,3	21,9	0,11	2,01	0,0184

b = (Ху – у_срХ_ср) /( Х² – (Х_ср)²)

b = (2,01 – 21,9*0,11) / (0,0184 – 0,11²) = – 6,333

а = у_ср – b Х_ср = 21,9 – (– 6,333)*0,11 = 22,597

Гиперболическая модель:  у = 22,597 – 6,333 / х

С помощью инструмента Регрессия построим точечную диаграмму модели:

 

Построение степенной модели  у = ах^b.

Произведем логарифмирование обеих частей:

lg y = lg a + b lg x,  у = А + bх, 

Y = lg y,  Х = lg x.

t	х	у	Х	Y	Х2	YX
1	17	26	1,230	1,415	1,514	1,741
- - -	- - -	- - -	- - -	- - -	- - -	- - -
10	3	13	0,477	1,114	0,228	0,531
Сумма	133	219	10,589	13,273	11,891	14,322
Среднее	13,3	21,9	1,059	1,327	1,189	1,432

 

b = (ХY – Y_срХ_ср) /( Х² – (Х_ср)²),  А = Y_ср – bХ_ср

b = (1,432 – 1,327*1,059) / (1,189 – 1,059²) = 0,397

А = 1,327 – 0,397*1,059 = 0,907

Y = 0.907 + 0.397х, или lg y = 0,907 + 0,397х.

lg y – это десятичный логарифм, значит его можно записать log₁₀y, а преобразовав log₁₀y = 0.907 + 0.397х, получим  у = 10^{0,907 + 0,397 lg x} = 10^0,907*10 ^lgx*(0,397) = 10^0,907х^0,397

10^0,907 = 8,072 (с помощью функции СТЕПЕНЬ)

Степенная модель:   у = 8,072х^0,397

 

График степенной модели построим с помощью «Регрессии»:

 

Построение показательной модели у = ab^x

lg y = lg a + x lg b или Y = A + xB

t	х	у	Yx	Y	x2
1	17	26	24,055	1,415	289
- - -	- - -	- - -	- - -	- - -	- - -
10	3	13	3,342	1,114	9
Сумма	133	219	182,832	13,273	2161
Среднее	13,3	21,9	18,283	1,327	216,1

Y = lg y, А = Y_ср – Вх_ср, В = (Yх – Y_срх_ср) / ((х² – (х_ср)²)

В = (18,283 – 1,327*13,3) / (216,1 – 13,3²) = 0,016

А = 1,327 – 0,016*13,3 = 1,112

Y = lg y = 1,112 – 0,016х , тогда у = 10^{1,112 – 0,016х} = 10^1,112*(10 ^{– 0,016})^х,

10^1,112 = 12,942 – это а,   10 ^{– 0,016} = 0,964 – это b

Показательная модель:   у =12,942*0,964^х

Точечная диаграмма этого уравнения:

 

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты Фишера и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Гиперболическая модель:  у = 22,597 – 6,333 / х

Коэффициенты детерминации и Фишера возьмем из «Регрессии»

Regression Statistics
Multiple R		0,8199475
R Square		0,6723139
	df		SS		MS	F	Significance F
Regression	1		178,1		178,1	16,414	0,003677207
Residual	8		86,804		10,851

Средняя относительная ошибка аппроксимации Е_отн = 1/n∑│ε_t/y_t│*100%, Е_отн =1/10*0,15*100% = 1,5%

Observation	Прдск. У	εt	уt	εt /уt
1	24,38	1,62	26	0,06
- - -	- - -	- - -	- - -	- - -
10	10,39	2,61	13	0,20
			Сумма	-0,15

Степенная модель:   у = 8,072х^0,397

Regression Statistics
Multiple R		0,935558
R Square		0,87527
	df		SS		MS	F	Significance F
Regression	1		0,105326		0,105326	56,13838	6,97677E-05

Е_отн = 1/n∑│ε_t/y_t│*100%, Е_отн =1/10*0,008*100% = 0,08%

Observation	Прдск. У	εt	уt	εt /уt
1	1,395	0,020	1,415	0,014
- - -	- - -	- - -	- - -	- - -
10	1,098	0,016	1,114	0,014
			Сумма	-0,008

Показательная модель:   у =12,942*0,964^х

Regression Statistics
Multiple R	0,917593724
R Square	0,841978243
	df	SS	MS	F	Significance F
Regression	1	0,10132	0,1013198	42,62594	0,000182479

Е_отн = 1/n∑│ε_t/y_t│*100%, Е_отн =1/10*0,012*100% = 0,12%

Observation	Предск У	εt	уt	εt /уt
1	1,387	0,028	1,415	0,020
- - -	- - -	- - -	- - -	- - -
10	1,162	-0,048	1,114	-0,043
			Сумма	-0,012

В построенной модели линейной регрессии   у = 11,78 + 0,76х

R² = 0,86,  F = 47,83 (задание 5),  Е_отн = 1,5%

Вывод: из построенных моделей степенная модель самая точная, т.к. имеет наиболее приближенный к 1 коэффициент детерминации R² = 0,875, и наименьшую среднюю ошибку аппроксимации Е_отн = 0,08%.

Степенная модель:   у = 8,072х^0,397

---

Понравилось? Нажмите на кнопочку ниже. Вам не сложно, а нам приятно).

---

Чтобы скачать бесплатно Контрольные работы на максимальной скорости, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь на сайте.

Важно! Все представленные Контрольные работы для бесплатного скачивания предназначены для составления плана или основы собственных научных трудов.

---

Друзья! У вас есть уникальная возможность помочь таким же студентам как и вы! Если наш сайт помог вам найти нужную работу, то вы, безусловно, понимаете как добавленная вами работа может облегчить труд другим.

Добавить работу

---

Если Контрольная работа, по Вашему мнению, плохого качества, или эту работу Вы уже встречали, сообщите об этом нам.

---

Добавление отзыва к работе

Добавить отзыв могут только зарегистрированные пользователи.

---

Похожие работы

• Контрольная по эконометрике вариант 8 (есть расчеты в Excel)
• Контрольная по эконометрике вариант 8 (решения в Excel)
• Контрольная по эконометрике вариант 8
• Контрольная по эконометрике вариант 8
• Контрольная по эконометрике вариант 8
• Контрольная по эконометрике вариант 8 (добыча сырой нефти)
• Контрольная по эконометрике вариант 8
• Контрольная по эконометрике вариант 8 (есть расчеты в Excel)
• Лабораторная по эконометрике вариант 8
• Контрольная по эконометрике вариант 8 (решение в Excel)
• Контрольная по эконометрике вариант 8
• Контрольная по эконометрике вариант 8
• Контрольная по эконометрике вариант 8 (расчеты в Excel)
• Контрольная по эконометрике вариант 8 (стоимость квартир)